Решение задач по теоретической механике (термех) онлайн

Реакции опор равны: $R_A = 6\ \text{кН}$, $R_B = 6\ \text{кН}$.

Дано:

• $L = 6\ \text{м}$
• $a = \frac{L}{2} = 3\ \text{м}$
• $F = 12\ \text{кН} = 12 \cdot 10^3\ \text{Н}$

Найти: $R_A$ — ?, $R_B$ — ?

Решение:

1. Выбор расчетной схемы и системы координат. Направим ось $x$ вдоль балки слева направо, а ось $y$ — вертикально вверх. Опору слева обозначим как $A$ (шарнирно-неподвижная), опору справа — как $B$ (шарнирно-подвижная). Поскольку внешняя нагрузка $F$ действует вертикально вниз, горизонтальная составляющая реакции в опоре $A$ равна нулю ($R_{Ax} = 0$), а вертикальные реакции $R_A$ и $R_B$ направлены вверх.

2. Уравнение равновесия моментов сил относительно точки $A$. Сумма моментов всех сил относительно точки $A$ должна быть равна нулю:

$$\sum M_A = 0$$ $$R_B \cdot L - F \cdot a = 0$$

Отсюда выразим вертикальную реакцию $R_B$:

$$R_B = \frac{F \cdot a}{L}$$

3. Уравнение равновесия моментов сил относительно точки $B$. Сумма моментов всех сил относительно точки $B$ должна быть равна нулю:

$$\sum M_B = 0$$ $$-R_A \cdot L + F \cdot (L - a) = 0$$

Отсюда выразим вертикальную реакцию $R_A$:

$$R_A = \frac{F \cdot (L - a)}{L}$$

4. Проверка равновесия системы. Сумма проекций всех сил на вертикальную ось $y$ должна быть равна нулю:

$$\sum F_y = R_A + R_B - F = 0$$

5. Вычисления. Подставим исходные числовые данные в полученные формулы:

$$R_B = \frac{12 \cdot 10^3\ \text{Н} \cdot 3\ \text{м}}{6\ \text{м}} = 6 \cdot 10^3\ \text{Н} = 6\ \text{кН}$$ $$R_A = \frac{12 \cdot 10^3\ \text{Н} \cdot (6\ \text{м} - 3\ \text{м})}{6\ \text{м}} = 6 \cdot 10^3\ \text{Н} = 6\ \text{кН}$$

Проверим условие равновесия:

$$6\ \text{кН} + 6\ \text{кН} - 12\ \text{кН} = 0\ \text{кН}$$

Условие выполняется тождественно.

Ответ: $R_A = 6\ \text{кН}$, $R_B = 6\ \text{кН}$.

Хочешь, построим для этой балки эпюры поперечных сил $Q$ и изгибающих моментов $M_x$?