Решение задач по алгебре с помощью ИИ по фото

Результаты сокращения: 1) $\dfrac{2b}{a^2}$; 2) $-\dfrac{16m}{9}$; 3) $\dfrac{1}{3}$.

Теория: основное свойство дроби и сокращение

Основное свойство рациональной дроби:
Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же ненулевое выражение, то значение дроби не изменится:

$$\frac{A}{B} = \frac{A \cdot C}{B \cdot C}, \quad \text{где } B \neq 0, C \neq 0$$

Деление числителя и знаменателя на их общий множитель называется сокращением дроби.

Алгоритм сокращения:

1. Разложить числитель и знаменатель на множители (если они представлены многочленами).
2. Найти наибольший общий делитель числовых коэффициентов.
3. Найти общие буквенные множители с наименьшим показателем степени, используя свойство:

$$\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n} \quad (m > n) \quad \text{или} \quad \frac{x^m}{x^n} = \frac{1}{x^{n-m}} \quad (n > m)$$

4. Разделить числитель и знаменатель на общий множитель.

---

Разбор примеров

1. Сократить дробь $\dfrac{4a^2b^3}{2a^4b^2}$.

Ограничения (знаменатель не равен нулю): $a \neq 0$, $b \neq 0$.

Запишем деление в виде алгебраической дроби:

$$\frac{4a^2b^3}{2a^4b^2}$$

Выделим общий множитель для числителя и знаменателя:

• Коэффициенты $4$ и $2$ делятся на $2$.
• Степени переменной $a$: наименьшая степень — $a^2$.
• Степени переменной $b$: наименьшая степень — $b^2$. Общий множитель равен $2a^2b^2$.

Разложим числитель и знаменатель:

$$\frac{4a^2b^3}{2a^4b^2} = \frac{2a^2b^2 \cdot 2b}{2a^2b^2 \cdot a^2}$$

Разделим числитель и знаменатель на $2a^2b^2$:

$$\frac{2b}{a^2}$$

---

2. Сократить дробь $\dfrac{-32m^2n}{18mn}$.

Ограничения: $m \neq 0$, $n \neq 0$.

Запишем выражение в виде дроби и вынесем знак «минус» перед дробь:

$$-\frac{32m^2n}{18mn}$$

Найдем общий множитель:

• Коэффициенты $32$ и $18$ делятся на $2$.
• Степени переменной $m$: наименьшая степень — $m^1$ ($m$).
• Степени переменной $n$: входят в одинаковой степени $n^1$ ($n$). Общий множитель равен $2mn$.

Разложим числитель и знаменатель:

$$-\frac{32m^2n}{18mn} = -\frac{2mn \cdot 16m}{2mn \cdot 9}$$

Сократим дробь на $2mn$:

$$-\frac{16m}{9}$$

---

3. Сократить дробь $\dfrac{-6ax}{-18ax}$.

Ограничения: $a \neq 0$, $x \neq 0$.

Частное двух отрицательных выражений положительно (минус на минус дает плюс):

$$\frac{-6ax}{-18ax} = \frac{6ax}{18ax}$$

Числитель $6ax$ целиком входит в знаменатель, так как $18ax = 6ax \cdot 3$:

$$\frac{6ax}{18ax} = \frac{6ax \cdot 1}{6ax \cdot 3}$$

Сократим числитель и знаменатель на общий множитель $6ax$:

$$\frac{1}{3}$$

---

Ответ:

1. $\dfrac{2b}{a^2}$;
2. $-\dfrac{16m}{9}$ (или $-1\dfrac{7}{9}m$);
3. $\dfrac{1}{3}$.