Решение задач по сопромату с помощью ИИ по фото

Продольные силы на участках: $N_1 = 5\ \text{кН}$, $N_2 = 10\ \text{кН}$, $N_3 = 6\ \text{кН}$ (все участки растянуты). Реакция заделки $R_A = 5\ \text{кН}$ (направлена влево).

Дано:

• Длина первого участка: $l_1 = 3\ \text{м}$
• Диаметр первого участка: $d_1 = 2d$
• Длина второго участка: $l_2 = 2\ \text{м}$
• Диаметр второго участка: $d_2 = d$
• Длина третьего участка: $l_3 = 2\ \text{м}$
• Диаметр третьего участка: $d_3 = 4d$
• Сила на границе 1-го и 2-го участков: $F_1 = 5\ \text{кН} = 5 \cdot 10^3\ \text{Н}$ (влево)
• Сила на границе 2-го и 3-го участков: $F_2 = 4\ \text{кН} = 4 \cdot 10^3\ \text{Н}$ (вправо)
• Силы на свободном торце: $F_3 = 3\ \text{кН} = 3 \cdot 10^3\ \text{Н}$ (две симметричные силы вправо, суммарно $F_{\text{пр}} = 2F_3 = 6\ \text{кН}$)

Найти:

• $R_A$ — ?
• $N_1, N_2, N_3$ — ?
• $\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3$ — ?

Решение:

1. Определение опорной реакции в заделке. Направим продольную ось $x$ вправо. Предположим, что реакция жесткой заделки $R_A$ направлена влево (против оси $x$). Запишем уравнение статического равновесия бруса в проекции на ось $x$:

$$\sum F_x = 0$$ $$-R_A - F_1 + F_2 + 2F_3 = 0$$ $$R_A = 2F_3 + F_2 - F_1$$

2. Вычисление реакции $R_A$. Подставим числовые значения внешних нагрузок:

$$R_A = 2 \cdot 3\ \text{кН} + 4\ \text{кН} - 5\ \text{кН} = 5\ \text{кН}$$

Знак «плюс» подтверждает, что реакция $R_A$ направлена влево (заделка удерживает брус от смещения вправо).

3. Определение продольной силы $N_3$ на 3-м участке ($5\ \text{м} < x \le 7\ \text{м}$). Проведем сечение на третьем участке и рассмотрим равновесие правой отсеченной части:

$$\sum F_x^{\text{пр}} = 0$$ $$-N_3 + 2F_3 = 0$$ $$N_3 = 2F_3$$ $$N_3 = 2 \cdot 3\ \text{кН} = 6\ \text{кН}$$

Сила $N_3 > 0$, следовательно, участок 3 испытывает растяжение.

4. Определение продольной силы $N_2$ на 2-м участке ($3\ \text{м} < x < 5\ \text{м}$). Проведем сечение на втором участке и рассмотрим правую отсеченную часть:

$$\sum F_x^{\text{пр}} = 0$$ $$-N_2 + F_2 + 2F_3 = 0$$ $$N_2 = F_2 + 2F_3$$ $$N_2 = 4\ \text{кН} + 6\ \text{кН} = 10\ \text{кН}$$

Сила $N_2 > 0$, следовательно, участок 2 испытывает растяжение.

5. Определение продольной силы $N_1$ на 1-м участке ($0 < x < 3\ \text{м}$). Проведем сечение на первом участке и рассмотрим левую отсеченную часть:

$$\sum F_x^{\text{лев}} = 0$$ $$-R_A + N_1 = 0$$ $$N_1 = R_A$$ $$N_1 = 5\ \text{кН}$$

Сила $N_1 > 0$, следовательно, участок 1 испытывает растяжение.

6. Определение нормальных напряжений в поперечных сечениях. Площади поперечных сечений участков через базовую площадь $A_0 = \frac{\pi d^2}{4}$:

$$A_1 = \frac{\pi d_1^2}{4} = \frac{\pi (2d)^2}{4} = 4 A_0$$ $$A_2 = \frac{\pi d_2^2}{4} = \frac{\pi d^2}{4} = A_0$$ $$A_3 = \frac{\pi d_3^2}{4} = \frac{\pi (4d)^2}{4} = 16 A_0$$

Нормальные напряжения вычисляются по формуле $\sigma = \frac{N}{A}$:

$$\sigma_1 = \frac{N_1}{A_1} = \frac{5\ \text{кН}}{4 A_0} = 1{,}25 \frac{1}{A_0}\ \text{кН}$$ $$\sigma_2 = \frac{N_2}{A_2} = \frac{10\ \text{кН}}{A_0} = 10 \frac{1}{A_0}\ \text{кН}$$ $$\sigma_3 = \frac{N_3}{A_3} = \frac{6\ \text{кН}}{16 A_0} = 0{,}375 \frac{1}{A_0}\ \text{кН}$$

Максимальные нормальные напряжения возникают на 2-м участке ($\sigma_{\max} = \sigma_2$), который является опасным.

(Примечание: если пара стрелок на торце обозначает суммарную силу $F_3 = 3\ \text{кН}$, то продольные силы составят: $N_3 = 3\ \text{кН}$, $N_2 = 7\ \text{кН}$, $N_1 = 2\ \text{кН}$, $R_A = 2\ \text{кН}$).

Ответ:

• $R_A = 5\ \text{кН}$
• $N_1 = 5\ \text{кН}$
• $N_2 = 10\ \text{кН}$
• $N_3 = 6\ \text{кН}$
• $\sigma_1 = \frac{1{,}25}{A_0}\ \text{кН}$, $\sigma_2 = \frac{10}{A_0}\ \text{кН}$, $\sigma_3 = \frac{0{,}375}{A_0}\ \text{кН}$

Можем дополнительно рассчитать абсолютное удлинение бруса $\Delta l$ и подобрать допускаемый диаметр $d$ из условия прочности при заданном пределе текучести материала.