Вычислите предел lim (x→0) sin(3x)/x.

Предел равен $3$.

Дано:

• $f(x) = \frac{\sin(3x)}{x}$
• $x \to 0$

Найти:

• $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x}$ — ?

Решение:

1. Определение вида неопределённости. Подставим предельное значение $x = 0$ в функцию:

Получаем неопределённость вида:

2. Приведение к первому замечательному пределу. Используем первый замечательный предел:

Умножим и разделим знаменатель исходного выражения на $3$, чтобы аргумент синуса совпадал со знаменателем:

3. Вычисления. Вынесем постоянный множитель за знак предела и сделаем замену $t = 3x$ (при $x \to 0$ переменная $t \to 0$):

Ответ:

В качестве следующего шага можно разобрать вычисление этого же предела с помощью правила Лопиталя или через эквивалентные бесконечно малые функции.