Найдите производную функции f(x) = x²·ln(x).

$f'(x) = 2x \ln(x) + x$ (или $x(2\ln(x) + 1)$)

Дано:

• Функция: $f(x) = x^2 \cdot \ln(x)$
• Область определения функции: $D(f) = (0; +\infty)$

Найти: $f'(x)$ — ?

Решение:

1. Применение правила дифференцирования произведения. Для нахождения производной произведения двух функций $u(x)$ и $v(x)$ используется формула $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

2. Нахождение табличных производных. Применяем табличные формулы для степенной и логарифмической функций: $(x^2)' = 2x$ и $(\ln(x))' = \frac{1}{x}$.

3. Преобразование и упрощение выражения. Подставляем найденные производные в исходное выражение и упрощаем результат.

Ответ:

Далее по этой функции можно найти точки экстремума и интервалы монотонности или вычислить вторую производную для исследования графика на выпуклость.